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潘碚谈数学探索性试题  

2014-01-16 18:16:24|  分类: 教学日记 |  标签: |举报 |字号 订阅

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潘碚谈数学探索性试题
2004-5-19 9:35:54

  中考数学探索性试题有8种类型:
  1、条件探索型 
例1:在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠B=90°,AB=8厘米,AD=24厘米,BC=26厘米,AB为⊙O的直径,动点P从点A开始沿AD边向点D以1厘米/秒的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点B以3厘米/秒的速度运动,P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动。设运动时间为七秒。求(1)t分别为何值时,四边形PQCD为平行四边形,等腰梯形?(2)t分别为何值时,直线PQ与⊙O相切、相交、相离?(t=6时,四边形PQCD为平行四边形。t=7时,四边形PQCD为等腰梯形,t=2/3或t=8时,直线PQ与⊙O相切,当0≤t<2/3或8<t≤8(2/3)时,直线PQ与⊙O相交;当2/3<t<8时,直线PQ与⊙O相离)

  2、结论探索型  例2:已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线,这条直线处x轴、y轴分别交于点A和点B,且OA=OB=1,这条曲线是函数y=1/(2x)的图象在第一象限内的一个分支,点P是这条曲线上任意一点,它的坐标是(a,b),由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN(点M、N为垂足)分别与直线AB相交于点E和点F。(1)设交点E和F都在线段
  AB上,分别求点E、点F的坐标(用a的代数式表示点E的坐标,用b的代数式表示点F的坐标)。(2)求△OEF的面积。(3)△AOF与△BOE是否一定相似,如果一定相似,请予以证明,如果不一定相似或者一定不相似,请简要说明理由。(4)当点P在曲线上移动时,△OEF随之变动。指出在△OEF的三个内角中,大小始终保持不变的那个角和它的大小,并证明你的结论。((1)E(a,1-a),F(1-b,b)(2)S=1/2(a+b-1),(3)△BOE~△AFO(4)△OEF中有一个定角∠EOF=45°)

  3、存在探索型  例3:已知点A(-1,-1)在抛物线y=(K2-1)x2-2(K-2)x+1上。(1)求抛物线的对称轴;(2)若点B与点A关于抛物线的对称轴对称,问是否存在与抛物线只交于一点B的直线。如果存在,求符合条件的直线,如果不存在,说明理由。((1)x=-5/8;(2)B(-1/4,-1);(3)y=6x+1/2,x=-1/4)

  4、判断探索型  例4:已知二次函数y=x2-(M2+4)x-2M2-12。(1)试判断这个函数的图象与x轴有无交点?若有,有几个交点?为什么?(2)求这个函数的图象与y轴的交点M的坐标,并在抛物线上找出与点M关于该抛物线的对称轴成轴对称的点N的坐标。(3)试判断顺次连结点M、N和抛物线与x轴的交点围成的图形是一个什么图形,并求出这个图形的面积。((1)有两个交点;(2)M(0,-2m2-12),N(m2+4,-2m2-12)(3)等腰梯形S=2(m2+6)2)

  5、模仿探索型  例5:圆内接三角形ABC中,AB=AC,D是BC边上的一点,E是直线AD和△ABC的外接圆的交点。(1)证明:AB2=AD·AE;(2)当D为BC延长线上一点时,第(1)题的结论成立吗?如果成立,请证明;不成立,请说明理由。(当D为BC延长线上一点时,结论成立

  6、分类探索型  例6:在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为GO(1)当点P在AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度;(2)设PH=x,GP=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长。((1)有,线段GH,GH=2;(2)y=1/336+3X2(0<X<6);(3)△PGH是等腰三角形,有三种可能情况:①GP=PH,1/336+3X2=X,∴X=6②GP=GH,1/336+3X2=2,X=0(舍去)③PH=GH,X=2)

  7、质量探索型  例7:从平行四边形ABCD的顶点A、B、C、D向形外的任意直线MN引垂线AA’、BB’、CC’、DD’,垂足是A’、B’、C’、D’求证AA’+CC’=BB’+DD’。现将直线MN向上移动,使得A点在直线一侧,B、C、D三点在直线的另一侧。这时,从A、B、C、D向直线MN作垂线,垂足为A’、B’、C’、D’,那么线段AA’、BB’、CC’、DD’之间存在什么关系?写出你的猜想,并加以证明。(CC’=BB’+DD’+AA’)

  8、规律探索型  例8:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,圆O是△ABC的内切圆,记半径为r1。等圆圆O1、圆O2外切,且圆O1分别与AC、AB相切,圆O2分别与AB、BC相切,记半径为r2。等圆圆O1、圆O2、圆O3分别与△ABC的两边相切,记半径为r3。依次类推,等圆圆O1、圆O2……圆On依次外切,且圆O1、圆On与△ABC的两边相切。(1)依次计算r1、r2、r3,找出它们之间的规律;(2)猜想rn与n的关系,并加以证明。(r1=1,r2=5/7,r3=5/9,可再模仿,求出r4=5/11,r5=5/13……猜想rn=5/(2n+3),证明方法同上)

  潘碚:同济大学高级讲师、上海市数学会理事、“神速数学法”创始人

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