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日志

 
 

“化归”是学好数学的灵魂-----二元一次方程组的应用  

2014-03-22 16:53:25|  分类: 教学日记 |  标签: |举报 |字号 订阅

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学生说:“在家里,看着题有一大片字就感觉题很难。就懒得去读,更懒得去做,可是一在老师面前就变得聪明了,感觉着题不难了。”

这是什么原因呢?

我认为:主要是学生自己学习时,没有自信心,更主要的是没有人引导,就没有了做题的方向。关键是学生自己没有形成解题的思维——即缺少“化归问题”的意识。

一 转化的意义和原则

解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题(相对来说,对自己较熟悉的问题),通过新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。

1.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化。除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维转化,多元向一元转化,高次向低次转化,超越式向代数式的转化,函数与方程的转化等,都是转化思想的体现。

2.转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件,所以尽可能使转化具有等价性;在不得已的情况下,进行不等价转化,应附加限制条件,以保持等价性,或对所得结论进行必要的验证。

3.化归与转化应遵循的基本原则:

(1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。

(2)简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据。

(3)和谐化原则:化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。

(4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。

(5)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解。

只要学生遵循解题的数学思想,合理转化,问题就会迎刃而解的。

所以,学生在我身边做题,我就会喊着这两个字:“转化”。喊着关键的解题结构:“由题意得:...原式=”

二 转化的途径

1.同级转化:已知y=3xy+x求代数式x-2xy-y分之2x+3xy-2y的。

老师准会这样讲:
由y=3xy+x可得:x-y=-3xy
2x+3xy-2y/x-2xy-y
=2(x-y)+3xy/(x-y)-2xy
=(-6xy+3xy)/(-3xy-2xy)
=-3xy/-5xy
=3/5

可是:老师不讲,学生就会这样做:

2x+3xy-2y/x-2xy-y
=2x+3xy-6xy-2x/x-2xy-3xy-x
=-3xy/-5xy
=3/5

到底,谁更简单呢?所以,“转化”二字是个宝,到底怎么转化学生能“避难就易”!

如果,老师说还有其他的方法,学生就会立刻去想,也许也会想出老师的办法来,这样,学生最喜欢最佩服的是同学。只有想不上来时,就看着老师说:“还是您讲吧!”只有这时候,老师讲的才是学生想知道的!

2.题意转化:

已知方程组2x+5y=-6,ax-by=-4和方程组3x-5y=16,bx+ay=-8的解相同,求(2a+b)的2013次方的值.

解:因为:已知方程组2x+5y=-6,ax-by=-4和方程组3x-5y=16,bx+ay=-8的解相同
所以:2x+5y=-6 (1)
3x-5y=16 (2)
由(1)+(2)得:
5x=10
所以:x=2
将x=2代入①中,得:
y=-2
把x=2,y=-2代入式子ax-by=-4,bx+ay=-8中,得:
2a+2b=-4 (3)
2b-2a=-8 (4)
由(3)+(4)得:
4b=-12
所以:b=-3
将b=-3代入(3)中,得:
a=1
所以:2a+b=-1
所以:原式=-1的2013次方=-1,因为2013是奇数
这样太罗嗦了!
要求学生:
由题意得
2x+5y=-6 (1) 
3x-5y=16 (2)
解得x=2
y=-2
代入得
2a+2b=-4 (3)
2b-2a=-8 (4)
解得a=1
b=-3
代入,原式= -1的2013次方=-1。
这样,由解相同,转化方程组,三个步骤解决了。
 再例如:

已知x=1是关于x的一元一次方程ax-1=2(x-b)的解,y=1是关于y的一元一次方程b(y-3)=2(1-a)的解,在y=ax平方+bx-3中,求当x=-3时,y的值。

把x=1代入ax-1=2(x-b)中得a-1=2(1-b),即a+2b=3..............(1)

把y=1代入b(y-3)=2(1-a)中得-2b=2-2a,即a-b=1.................(2)

解(1)(2)得a=5/3,b=2/3

代入y=ax^2+bx-3中得y=(5/3)x^2+(2/3)x-3

把x=-3代入y=(5/3)x^2+(2/3)x-3中得y=10

学生会这样做,就要规划学生的解题思路:转化!

由题意得

a+2b=3

a-b=1

解得:

a=5/3,

b=2/3

代入得y=(5/3)x^2+(2/3)x-3

把x=-3代入y=(5/3)x^2+(2/3)x-3中得y=10

这样四步骤,有一个学生明白了说:就是转化为二元一次方程组,把4个未知数变成2个的,接着还是代入变成2个的。。。。

 

练习:

“化归”是学好数学的灵魂-----二元一次方程组的应用 - 烂漫飞花 - 烂漫飞花

 

“化归”是学好数学的灵魂-----二元一次方程组的应用 - 烂漫飞花 - 烂漫飞花

 

三 总结提炼

1.熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础;丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁;培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼,要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础,重转化”是学好中学数学的金钥匙。

2.为了实施有效的化归,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论,既可以变换问题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,既可以从代数的角度去认识问题,又可以从几何的角度去解决问题。

 

 

 

 

 

 

转化和化归思想 对高中数学的学习也起着关键的作用!

值得研究的相关文章:

高三数学思想、方法、策略专题

 

http://wenku.baidu.com/view/d82fb8240722192e4536f639.html

http://wenku.baidu.com/link?url=IIfbJ-t7Ui5d3zjQ4ak6VTHN1kDrsF-XgX488tT3epVBIlHcntcaRMO0qYXzviV2fEiY-i-siAomPZPBTMNsJUGD20CzZ5mRiCXyoBoin0S

http://wenku.baidu.com/view/44cc4a0590c69ec3d5bb7577.html

高中数学解题思想方法全部内容
 

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